ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ. И КРИТЕРИИ

,1 рассматривать массу текущей жидкости как температурное легко видеть, что происходящий при этом процесс тепло — 1 между этой жидкостью и стенками трубы зависит от большого »‘отдельных факторов (переменных в функции): температур жид — || стенки t И tm, плотности жидкости р, теплоемкости с, вязко — рнутренней теплопроводности скорости течения со, давления р, ;етря трубы d. При таком числе переменных определение тепло — ачн представляло бы математически неразрешимую задачу, если КО Мая величина определялась как функция от стольких отдель — веременных, притом зависящих одни от других: так, изменение — ратуры неизбежно связано с изменением плотности, вязкости Д. Зто последнее обстоятельство сделало бы невозможным даже шфИческое, экспериментальное решение вопроса, так как для елеция совместного влияния всех факторов было бы необходимо. влі(5£НИе каждого в отдельности н ставить соответственно опыты пР°Чих равных условиях", а это часто невозможно было бы делать указанной взаимной зависимости факторов.

роо/іема стала разрешимой, по крайней мере эмпирически, с тех

Как явилась возможность иметь дело не с отдельными перемен-

а с групповыми объединениями из них, выступающими в про-

каЬ: некоторые единства. Такие групповые величины получили

н,|е критериев или „инвариантов" (из которых один, число

Льдсд, приведен выше из данных гидродинамики). Благодаря им

j. пеГ>емепных сильно сокращается, и становится возможной не

0 экспериментальная трактовка вопроса, но частью и математи — Яд,

родным началом, давшим вывод критериев, является вопрос об В11ях подобия явлений теплопередачи. Ниже выясняется 1тких чертах сущность этого вопроса и выводятся некоторые, •’ее важные для последующего критерии.

Представим себе какое-либо явление протекания жидкости в трубе с ламинарным режимом в установившемся состоянии. Рассматривая эту жидкость как температурное поле, возьмем в общем виде из­вестное уравнение Фурье:

X ( d’t. (T-t. (Pt _ dt

‘ey V dx2 ~T~ dy3 dz-J ~ dt ’

причем предполагаем ось. г-ов совпадающей с осью трубы.

Так как при этом t = fix, у, z, т), то производная в правой части уравнения может быть написана в следующем виде:

dt _____ dt dx_ . dt ‘ dy. dt _ dz____ dt

dt dx~ ’ dt dy * dt I dz dt ‘ dt

dt, dt і dt, dt

~ Ox r ~dy r ‘dz ‘ dt •

В неподвижном поле составляющие скорости движения (Ох, (Яу и шг равны нулю, а потому в правой части уравнения Фурье остается

лишь ~ , который в этом случае равен. В жидкости, движущейся

ламинарно, имеем только осевые скорости свг, и потому здесь в пра — dt, dt

вой части будет а для установившегося режима последний

член отпадает, и мы получим ~ ■ wz или просто “-to. Таким образом

для взятого явления, которое будем характеризовать индексами 1 при всех его. величинах, имеем уравнение:

cih dxl dy| dz — ) dzt

Теперь представим себе второе явление протекания жидкости по трубе, во всем подобное первому, хотя происходящее в ином внешнем масштабе. Температурное поле этой второй жидкости совершенно одинаково с предыдущим (имеет одно и то же уравнение). Это требо­вание распадается на следующие частные условия:

1) в обоих потоках формы труб геометрически подобны между собой, т. е. отношения всех сходственных размеров (длин, диаметров, радиусов закруглений и т. д.) постоянны; назовем это постоянное от­ношение линейных размеров через кч (коэфициент или константа геометрической пропорциональности или подобия);

2) температуры в сходственных точках потоков (на осях, на внут­ренних поверхностях стенок, на серединах радиусов и т. д.) имеют постоянное отношение, которое назовем через kt (константа подобия температур);

3) то же надо сказать и о скоростях и давлениях, отношение ко­торых обозначим соответственно через к, л и к’

4) в постоянном отношении находятся в сходственных точках и физические константы жидкостей: плотности или объемные веса, тепло­емкости, внутренняя теплопроводность, вязкость, для которых кон­станты подобия пусть будут k? или kv кс, kx, ку..

18 Злк. 750. В. Д. Мачітсдіій. 273

= (3)

с2‘(2 (ХГ, ду2 (z2 J dz2

В этом уравнении все величины с индексами 2 можно выразить через величины с индексами 1 на основании коэфициентов пропорцио­нальности: dtz =■= hf dtv d2t2 = kf d’tv dxl = (kt dx1)3 — k~ldxl и т. д., и уравнение примет следующий вид:

h / kt а2/, . kt д% . __

kt (, . ( sty

и “■)

ffzty. kt. f’iy

ki dzt

или

Но выражения, поставленные в скобки в обеих частях уравнения, равны между собой на основании уравнения (2). Поэтому должны быть равны и группы величин, стоящие в обеих частях вне скобок;

следовательно:

kf ___

■ —

Внеся вместо kr всегда равную ей величину kf и заменив затем все константы подобия отношениями исходных величин и т. д.^,

получим:

TOC o "1-5" h z У-i Ї-2

CypydyVy c, p.idiw2 ’

или, вводя известный коэфициеит температуропроводности а == ^,

ИЛИ

получим:

а< ____ й2 _____ —„„і

d.

ш2 — d. t

Ш, dy

d2

“і

°2

Таким образом в подобных явлениях оказались равными групповые величины, объединяющие в себе по пяти отдельных переменных. Это равенство вытекло из предположенного подобия, следовательно имма­нентно (внутренне присуще) ему; в явлениях не подобных этого ра­венства не будет. Отсюда заключаем, что основной характер явления определенно связан с значением такой групповой величины, явление характеризуется ею; она и носи г иазрание критерия. Полущенный выше критерий называется критерием Пекле и обозначается знаком Ре он характеризует собой, как мы видели, температурное поле жидкости, если поток ее ламинарный.

Легко убедиться, что этот критерий, как и все последующие, есть величина безразмерная (отвлеченное число, откуда и название „число"

Рейнольдса)’; для этого достаточно подставить в него размерности отдельных величин и сделать сокращения. Единицы измерения должны быть конечно постоянными для всех отдельных величин критерия.

В случае турбулентного потока имеем гидродинамическое уравне­ние Навье-Стокса для движения невесомой жидкости при стационарном режиме; приведем его лишь в отношении одной оси координат, так как для двух других оно вполне аналогично:

* дх

где

ду ‘ * дх р дх ‘ р 3 дх**)’

д&х ■ і дшг

дх ‘ ду ‘ дг

Аш

д[129] тх { д2 ых. d21

* дх* » ду2 1 dz2 *

Если, рассуждая совершенно аналогично с предыдущим, подставим в это уравнение все величины в сопровождении соответствующих коэ — фициентов пропорциональности, то получим: в каждом из слагаемых

ft • А

левой части одну и ту же группу коэфициеитов, а именно “ “

кі ‘

k

а в правой части при первом члене группу — т-р-г, а при втором

Rq * Kj

k k k

. — . _ _________________________________________

1.2

, так как все члены в скобках имеют одну и ту же группу ■

*p 4 ‘ J a,

Таким образом для соблюдения равенства обеих частей уравнения должны быть равны между собой следующие группы:

ftu, кр ftjj. * ft to

fti ftp • fti ftp • kj’

Взяв равенство между первой и третьей из написанных групп и заменив коэфицненты исходными величинами, получим:

= const

ш ар

ИЛИ

= const.

Это — упомянутый пыше критерий Рейнольдса Re, который и является характеризующим гидродинамическое поле турбулентного течения, а по связи с ним — и поле тепловое *.

Выведем еще критерий Нуссельта. Тепловой поток между жид­костью с температурой tx и элементом df внутренней поверхности стенки трубы с температурой tVT определяется, как известно, или по фор­муле Фурье:

dQ— А df’

где п — нормаль к стенке, или по формуле Ньютона:

dQ = а (Уж — tj df.

Сопоставляя правые части этих равенств имеем:

^ dt 1 X ґ dt d

а~— ‘ dn ‘ t3. — tCT d dTt tx — t„ ) ’

Пусть это равенство написано для одного определенного явления

теплопередачи. Для всякого другого явления, подобного первому, вы­ражение, поставленное нами в скобки, останется неизменным: действи­тельно, введя в него коэфициенты пропорциональности, получим из

них группу, которая обращается в единицу. Таким образом

выражение в скобках есть во всех подобных процессах величина по­стоянная, т. е.:

а — — — Е • const. (4)

Отсюда следует, что и величина 4^ есть тоже постоянная вели­

чина в таких процессах. Это и есть критерий Нуссельта (Nil).

Одновременно в формуле (4) имеем общую форму для определения основной величины всей конвекционной теплопередачи—коэфициента а теплоперехода между жидкостью и стенкой трубы. Так как весь тепло­вой процесс течения характеризуется, как мы видели, критериями Ре и Re, а также неотраженными в них геометрическими соотноше-

/ /2

ниями (которые обозначим условно через и т. д.), то можно

‘О ‘О

написать вообще

« = 7/(1г’-р«-■&••&•••)■ [130]

Вид функции / определяется эмпирически.

Из предыдущего видно, что между критериями, характеризующими процесс, имеется некоторая взаимная связь; так, формулу (5) можно представить в виде:

В этой форме и дается иногда решение вопроса эмпирическими фор­мулами или кривыми; тогда вместо а искомым становится критерий Nil. Не останавливаясь здесь на других критериях, менее важных для

последующего изложения, отметим еще только критерий Фруда Fr = ‘^-[,

Ре а

критерий Прандтля Рг— состоящий только из физических

I? p 1

констант жидкости, и критерий Стантона St = -^- =

Приведенные выше критерии относятся к процессам протекания жидкости в трубе и принужденного обтекания ее. Для процессов сво­бодного обтекания трубы газами (двухатомными) является характери­зующим критерий Грасгофа Gr, имеющий выражение:

Поэтому для процессов обтекания газами (воздухом) имеем следую­щую общую форму выражения для коэфиццента а:

Наличие разности / —/ в выражении для Gr и для а возбуждает вопрос о том, как можно знать температуру внутренней поверхности стенки / для расчета коэфициента а или теплопередачи по общей формуле Qh2v<ic— a(tx—/ст), когда коэфициент а есть функция от той же величины —/ Это затруднение разрешается с помощью уравнения теплового баланса при стационарном режиме теплопере­дачи. Пусть например идет речь о горячем трубопроводе в помещении. Для него мы можем написать следующее уравнение теплового баланса для 1 л2 поверхности трубы:

« (/ — t ) — k (t — Г ),

В 4 Ж СТУ V. Ж IIу ’

где k = —г р, если а и а—коэфицненты теплопередачи соот-

ветственно на внутреннюю поверхность стенки и с наружной ее по­верхности, е и X — толщина и коэфициент внутренней теплопровод­ности стенки и Та—температура окружающей наружной среды. Когда будем иметь эмпирические формулы для аи и ая, хотя бы и содержа­щие в себе величину t, все же получаем здесь уравнение с одной этой неизвестной, откуда и можем определить ее. При сложности пря­мого решения можно применить метод пробных подстановок: задав­шись некоторой величиной /ст, определим по ней а И 1!3 эмпирн-
ческнх формул, а затем из уравнения теплового баланса найдем снова величину t, которую и сопоставляем с предположенной; так посту­паем до тех пор, пока получим достаточное согласие рассчитанной величины и предположенной.

d

4 F. Р ’

Во всем предыдущем изложении предполагались трубы с круглым сечением (диаметра d). Если имеется канал иного сечения (квадратного, прямоугольного и т. п.), то расчет коэфициента а и теплопередачи в нем может вытекать из тех, которые будут установлены для труб с круглым сечением, если найдем для некруглого сечения эквивалент­ный ему диаметр круглого. Эта эквивалентность по принципу гидра­влики, применяемому и для теплотехники, определяется равенством (гид­равлических радиусов):

откуда

здесь Г—площадь некруглого сечения, Р — его периметр н d — экви­валентный диаметр. Ближайшее рассмотрение показывает, что эта фор­мула применима лишь к сечениям компактных форм (овальные, квад­ратные и близкие к ним прямоугольные), но не к таким, как щели или межтрубное пространство трубчатого котла, где условия течения и теплопередачи своеобразны. Однако этот вопрос еще не исследован в сколько-нибудь точном виде.

Posted in ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В СТРОИТЕЛЬСТВЕ


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *