Обобщенное решение уравнения Бесселя

Постановка задач теплопроводности в цилиндрической системе координат часто приводит к уравнению Бесселя. В частности, уравнение теплопроводности (2.109) для диска является уравнением Бесселя. Уравнение этого типа путём преобразований обычно приводится к канонической форме, для которой известны решения. Иногда бывает довольно сложно найти такую замену независимой переменной, которая позволила бы преобразовать (если это вообще возможно) заданное дифференциальное уравнение в обычное уравнение Бесселя или же такое уравнение, общее решение которого содержало бы линейные комбинации функции Бесселя. Однако простое сравнение заданного дифференциального уравнения с приводимым ниже обобщённым уравнением Бесселя позволяет просто ответить на вопросы: сводится ли данное дифференциальное уравнение к уравнению типа Бесселя и каково решение этого уравнения. Одна из форм обобщенного уравнения Бесселя имеет вид [7]:

х2^ + [(1 -2А)-х — 1Bx2]^ + [C2D2x2c +В2х2 — В( 1 -2А)х + А2 -С2п2]у -0, (2.123)

dx dx

где п определяет порядок уравнения Бесселя. Обобщённое решение имеет вид [7]:

(2.124)

y = xAe*[ClJ„(Dxc) + C2Y„(Dxc)l

где Сі и Сг — постоянные интегрирования; Jп и Yn — функции Бесселя

первого и второго рода порядка п.

Рассмотрим простейшую форму уравнения Бесселя вида

Обобщенное решение уравнения Бесселя

Его решение имеет вид

(2.125)

У ~ CXJо (т) + C2Y0 (х),
где J0(x) и У0(х) — функции Бесселя вещественного аргумента нулевого порядка, вторую из них иногда называют функцией Неймана.

Напомним некоторые свойства функций Бесселя.

Первые производные функций нулевого порядка JQ(x) и Г0(х)

являются функциями Бесселя первого порядка

J,

г-7/

д

\

/Л /1

V

л

А,

1 1 / 1

1 1

V Л

А х

1 I /

/

//

^ ч

/ .

*

!

Л * /

Л к

V

//

4Jи у

/

/

‘1 1 о 1 !

і і

I!

і і

і1

| 1 ! і

і

./’„(*) = -/,(*), Y’0(x) = — Yl(x)

О

-0,2

]

-0,4

(2.126)

0,1

X

5 10

Рис. 2.13. Функции Бесселя и Неймана вещественного аргумента нулевого

и первого порядков

На рис. 2.14 представлен вид функций Бесселя /0(х),АГ0(х) нулевого порядка и первого порядка АГ,(х) и /,(х) . Функция Kv(z) называется функцией Макдональда.

Функции Кй(х) и ATj(x) при малых значениях аргумента могут быть представлены в виде

(2.127)

АГ0(х)«1п(-)-0,577

X

АГ, (х) « х~’ х < 0,5

Обобщенное решение уравнения Бесселя

Рис. 2.14. Функция Бесселя мнимого аргумента К0(х), К](х), Іо(х), 11 (х)

Posted in Тепломассообмен


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *