Температурное поле стержня с источником тепла

Пусть стержень имеет постоянное поперечное сечение S и периметр U. Теплообмен стержня со средой описывается законом Ньютона, средний коэффициент теплообмена равен а. Материал стержня имеет постоянный коэффициент теплопроводности А. На одном торце стержня * = 0 задан тепловой поток Р, а на другом торце х = 1х теплообмен происходит по закону Ньютона с коэффициентом теплообмена аТ. Температура окружающей среды всюду постоянна и равна tc.

Полагая в (2.99) W* = const = w и принимая Ь2 по формуле (2.103), получим дифференциальное уравнение, описывающее температурное поле стержня (рис. 2.10):

12л ^ П I 2 aU п, ч

-Ъ9 + — = 0, b =-^г, 9 = t(x)-te

dx

Л

IS


Условия на границах имеют вид

йЭ_

dx

■Л

■S = Р

с=0

{^г+ст9)—>.=й

dx Я


Температурное поле стержня с источником тепла

Рис. 2.10. Стержень произвольного сечения Общий интеграл равен

х

W

(2.115)

3(х) = Cychbx + C2shbx + —j.

ЛЬ

Из граничных условий находим

С2=-— С, =-^—А———- с^—

Я5Ь ЯЗЬ Я2Ь2(Ь$}гЫх + —chblx)

Я


Окончательное решение примет вид

р W ITchbx

$ = ——(Achbx-shbx) + — (l ————— ). (2.116)

Ш ЛЬ shbl + — chbl

х ЛЬ

Рассмотрим частные случаи.

а) Теплообмен с торца х = 1х отсутствует (адиабатический торец). Это означает что ат = О и (2.116) примет вид

<9 = —— (Achbx ~ shbx) + -^-г-, А — cthbl

XSb ЛЬ2

или

Р chb(l — я) W

~ XSb shbl. +Jb2’ (2.117)

б) То же, что и (а), но отсутствуют внутренние источники энергии W = 0.

. Р chb(lx — х)

~ IbS shblx ‘ (2.118)

Обозначим температуру торца х = 0 в этом случае через &0 и найдём связь между i9(l и Р

9 = — cthbl х Р = 30ASbthblx. (2.119)

XSb

Условие (2.119) позволяет записать формулу (2.118) для случая, когда задана на границе х = 0 не мощность Р , а перегрев 30; действительно,

,9 = 9,

chb(lx — х)

0—- Г71—•————————————— (2.120)

chblx

Из сопоставления (2.116) и (2.117) следует, что расчётная формула существенно упрощается, когда соблюдено условие ат = 0. Покажем, как
для аг ф 0 можно решение (2.116) привести к приближенной формуле, имеющей структуру (2.117), из условия сохранения общего теплового баланса. Для того, чтобы в (2.117) учесть теплоотдачу с торца стержня (снять условие ат = 0 ), следует условно увеличить площадь боковой поверхности стержня путем увеличения длины стержня. Тогда условная длина стержня станет равной 1’х . Эти параметры связаны очевидными

соотношениями:

(lx-lx)-U а = Sa7

Откуда

(2.121)

и a v ‘

Подставив в уравнение (2.117) вместо 1Х условную длину /’ , учтём теплообмен торца с окружающей средой.

в) Полуограниченный стержень 1Х= да. Выражение для А примет вид

4,„=1’а

TOC o "1-5" h z Р W

9 =——————————————————— (2.122)

XSb п1 у — )

Здесь использованы известные зависимости

chx — ^(ех + е~х); shx — “ е *)-

Пример 1. Для увеличения рассеяния тепловой энергии с поверхности S0 торца функционального микроминиатюрного элемента выведено п медных (А, = 400 Вт/м-К) жил диаметром 2Д = 10~3 м, длиной / = 10 мм (рис. 2.11). Пусть 50=1 см, коэффициент теплообмена между поверхностью и средой при отсутствии жил а0=Ю Вт/м К, коэффициент теплообмена

одной жилы с окружающей средой а = 20 Вт/м — К.

Найти, во сколько раз увеличится отток тепла с поверхности при наличии жил. При решении задач считать, что наличие жил не изменяет значений коэффициентов теплообмена а и а0.

Решение. Обозначим мощность, рассеиваемую с поверхности жил, — Р; мощность, рассеиваемую оставшейся поверхностью (при наличии жил), ~Р{.

Р + Р

Требуется вычислить отношение L.

^0

Температурное поле стержня с источником тепла

Рис. 2.11. Увеличение интенсивности теплообмена с помощью медных жил

Найдём

Здесь через 90 обозначен перегрев над средой поверхности 50 . Если пренебречь количеством тепла, рассеиваемым с открытого торца жилы в среду, то на основании (2.119)

Р = п 90ASbthbl

Значение Рх найдем из очевидного равенства

Рх = айЭ0(80-плИ2)’

Итак,

nR2

nXbSthbl+ a. nS(i(l-n )

TOC o "1-5" h z Р + Р{ S0 nXbS,,, , 7iR2

1 — 0 — — thbl + l-n

P0 ао*^о S0

6i = ot/ = 2a= 2.20 _1_

XS XR 400 0,5 10 m м

Ы = 0,14; thbl * 0,14;

P + P L = 1 + «- 0,62.

P0

Если n = 10, то рассеяние увеличивается в 7 раз.

Замечание. Вывод (2.119) сделан в предположении, что основание жилы
имеет температуру 90, а коэффициент теплоотдачи на поверхности жилы а остается неизменным. Однако с увеличением количества жил, если не принимать специальных мер, интенсивность теплообмена на их боковых поверхностях будет снижаться и последняя формула дает завышенный результат. Дальнейшее увеличение количества жил приведет к противоположному эффекту.

Примет? 2. Полупроводниковое термосопротивление типа бусинки имеет следующие параметры (рис. 2.12): диаметр бусинки d{= 1 мм, диаметр медных проводников d2 = ОД мм, их коэффициент теплопроводности Я2 = 400 Вт/мК, длина проводников во многом превышает их диаметр, т. е. можно считать 12 = со. Бусинка находится в воздухе, коэффициент теплообмена проводов и бусинки со средой а = 40 Вт/м К.

т9

Температурное поле стержня с источником тепла

Рис. 2.12. Полупроводниковое сопротивление бусинкового типа

X

Необходимо найти величину измерительного тока, при котором погрешность измерения температуры tc воздуха из-за перегрева

термосопротивления не превысит 0,1% ; tc = 40 °С. Электрическое сопротивление R =2500 Ом при tc= 40 °С.

Решение. Обозначим допустимый измерительный ток через 1$ , он связан с рассеиваемой допустимой мощностью Р$ зависимостью

Температурное поле стержня с источником тепла

где R — электрическое сопротивление термистора. Погрешность измерения б за счёт перегрева термосопротивления равна

(а)

<у = ^-А = —= 0,001 = io_3,5d =io_3f<

t „

Это значение 0 будем считать допустимым и обозначать 9д. Установим
связь между 9д и Рд. Для этого представим термистор в виде бусинки с равномерным полем температур и двумя стержнями (рис. 2.12 б). В стержни отводится поток Р2 , а со свободной поверхности ПТС рассеивается поток Р1. Полная мощность Рд равна

Рд=Р,+Р2 (б)

Найдём Р{:

Р{ = a&dSx = а9д ^ • 2) = 9д ■ 1,25 — КГ4 Вт

Полагая, что Р2 /2-поток, входящий в один торец бесконечного стержня с температурой основания 9д, по формуле (2.119) найдём

Поток, входящий в оба проводника, равен

Р2 =29A2b2S2 =9д -2-4-102J 440 *Л0 =4-10~4^ Вт.

й й V 400 10“ 4

Итак,

Рд = (1,25 + 4) • 1(Г4 Эй = 5,25 ■ 10~4 &д Вт.

Из (а) и (б) находим

Рд =5,25-КГ4 -1(Г3 ■40 = 2,Ы0""5 Вт.

Из (а) также следует, что перегрев термосопротивления при этой мощности будет равен

<9 = 10~3fc = 0,04 К,

т. е. электрическое сопротивление следует брать при температуре t = 40,04 °С; будем считать его мало отличающимся от заданного R =2500 Ом при t = 40 °С. Тогда

Температурное поле стержня с источником тепла

= 92 мкА

Posted in Тепломассообмен


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *