Дифференциальное уравнение для диска

Приведём теперь операцию Iz над всеми членами дифференциального уравнения (2.91) для ограниченного цилиндра с источниками энергии. Обозначим при этом (рис. 2.8 в)

$2(x) = yj&(x, z)dz, (2.108)

4 0

Тогда

Д д.. ду9Л1 d. д&2

х дх дх х dx дх

Операции Iz над вторым и третьим членами уравнения (2.91) приведут к выражениям (2.104), а

IzW{x, z)1 = — | W(x, z)dz = Ж2(х).

4 о

После проведения указанной операции уравнение (2.91) примет вид

а)

(2.109)

б)

Здесь Ч*2 — отношение температуры в точке х на грани z = lz ограниченного цилиндра к средней по длине цилиндра температуре в той же точке х (рис. 2.8 в).

При стремлении градиента температур по длине цилиндра к 0 &(x, lz)-> &2{х) и 4*2 —^ 1 Для 4*2=1 приходим к дифференциальному уравнению (2.109) для температурного поля пластины с круговой симметрией; такие пластины называются дисками.

Температурное поле пластины с двумерным полем температур описывается уравнением (2.107), а для диска — уравнением (2.109). Прежде

——(х—^)~Ь2&2 + —= 0 х dx dx 2

3{x, k)

&2(х)

«,^2

Я I

4*

» -■>

чем переходить к решению этих уравнении, проведем некоторое их обобщение, позволяющее рассмотреть следующий более широкий класс задач: температура среды с разных граней параллелепипеда или со стороны торцов цилиндра разная, тогда

dt ос’ dt а"

= о, [SL-SUa-r я = о.

dz Л — dz Л

Если при проведении преобразований, приведших к зависимости (2.104), учесть условия на границах в приведённой здесь форме, то уравнение (2.107) сохранило бы свой вид

21

но значение 3 было бы другим, а именно:

^(х, у) = г(х, у)~^сэф1 tc^ = a Iі а, (2.110)

а +а _ 4 7

где? сэф- эффективная температура среды. Если а=а"_, то

*с*=0,5(^+0, (2.111)

т. е. эффективная температура в этом случае будет равна среднеарифметической температуре двух сред. Тот же вывод остается справедливым и для уравнения (2.109).

Posted in Тепломассообмен


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *