Дифференциальное уравнение теплопроводности для стержня

Температурное поле стержня или пластины может быть получено на основании решения соответствующего дифференциального уравнения для стержня или пластины вместе с граничными условиями. Такое уравнение обычно выводят специально, анализируя процесс переноса тепла в стержне или пластине. Однако оно может быть получено из общего уравнения Фурье, так как стержень или пластина представляют собою частные случаи тел с двух — и трёхмерным полем температур. Рассмотрим наиболее общий случай — анизотропное тело, все три размера которого имеют один порядок; пусть в теле равномерно распределены источники тепла удельной

о

мощностью W Вт/м. Стационарное поле температур в таком теле описывается дифференциальным уравнением (2.16) для параллелепипеда

. d2t d2t d2t

Для ограниченного цилиндра в стационарном режиме можно использовать

уравнение (2.8), положив в нём — = 0:

х ox ox dz dz

дт

Рассмотрим сначала температурное поле параллелепипеда, на границах у = ±1 и z = ±l2 которого справедливы условия (2.24) третьего рода

(рис. 2.8):

.dt а

і 1 (t — t )

dz Xу c

+ -(t-te)

ду Я

= 0;

:~±L

У=±!у

Обозначим t-tc = 9 и, в силу симметрии температурного поля, перепишем граничные условия в виде

d&

> 2

d&

dy

69

_

а)

(2.92)

у. О

в)

dz Л

Условия на границах х = ±1х пока не оговариваем. Предположим, что градиент температур в данном теле в направлениях у и z мал и покажем, как можно учесть эту особенность температурного поля в дифференциальном уравнении (2.16), которое представим в форме

, d29 , d2& , d29 ттг п

(2.93)

X —— + X —т — + X —— + W — о а*2 ‘ ay2 az2

Проведем над уравнением (2.93) следующую операцию:

к к

(2.94)

yz

[Л = ту f J fix, у, z)dydz,

I if V n n

у 2 0 0

т. е. умножим почленно уравнение на dydz и проинтегрируем его в пределах от 0 до 1у и /г, а затем разделим результат на произведение lylz.

Физически по отношению к 9{x, y,z) эта операция означает осреднение температурного поля в теле по направлениям у и z. Обозначим осредненное в направлениях у и z значение температуры (рис. 2.8 а)

(2.95)

9(х) = 1У1 [5(х, у, z) = — J j Э(х, у, z)dydz.

* л п

y*z 0 0

Итак,

a%9. ax2′

l_

yh 0 0

dy

t rз a’i9, і rf3 a2f, , Vf/r^.,,

^ a7] = Tllr дґ^ = m[lwdy]dz

.У z О 0 ‘у I.

0 0 dy

у z 0 0

Дифференциальное уравнение теплопроводности для стержня

Дифференциальное уравнение теплопроводности для стержня

Рис. 2.8. К выводу дифференциальных уравнений параллелепипеда,

пластины и стержня

Поскольку в последнем выражении интегрирование и дифференцирование происходит по одной переменной у, то эти операции нельзя менять

местами. Рассмотрим интеграл

К = д$

О

д&

дЭ_

ду

дЭ

ду

іду2 ‘ Joey^

dy=d —

/ І К ty) ду

N! r

>z).

Л

Последнее преобразование сделано на основании условия (2.92 а). Следовательно,

д2Я а Л ‘г сс

(2.96)

К [Л ^т = ~JLJ~ f Wx, К >z)dz = —"■Я (х), }Л 2 ду2 ІілЛ і,

где

&z(x) = — j&(x, ly, z)dz — значение осреднённой по z температуры на

4 о

грани у=1у.

Аналогично проведём операцию lyz над третьим членом уравнения (2.93). Используем условия (2.92):

(2.97)

9y(x) = yWx, y,h)<ty,

*У О

«9 (х) — значение осреднённой по у температуры на грани z = /2.

[W(x, y, z)] = jj\ W(x, у, z)dydz = Wx).

Если W(x, y,z) = const, TO W =W.

д2$(х) ау

Перепишем уравнение (2.93) с учётом преобразований

Лх _ ZZ. 9: (*) _ Ъ. $ (Х) + W’ = О.

дх I, I у

Введём обозначения

Поясним физический смысл безразмерных параметров Ч*, и у¥у (см.

рис. 2.8 а).

Ч( -отношение осреднённой по z температуры на грани у = 1у к средней по сечению yz температуре. В общем случае Ч( и 4^ должны изменяться с х. Используя (2.98), перепишем последнее уравнение в следующем виде:

д23 ,2- W —— — й 3 ч — О,

дх2 Ях

Ь2 ay4,lz+a,4yl,

ЛА

а)

(2.99)

б)

Если градиент температур по сечению yz стремится к нулю, то это означает, что средняя по сечению температура и температура на гранях iv

и lz стремятся друг к другу, т. е. ї ->1иТгч1. Тогда выражение для Ь2

примет вид

, aJ+azL

b (2Л00)

Уравнение (2.99), в котором Ь определяется по формуле (2.100), является дифференциальным уравнением для стержня с источником тепла.

Если стержень имеет периметр U и площадь поперечного сечения S, а теплообмен на границах происходит по закону Еіьютона с коэффициентом теплообмена а, то можно обосновать следующее выражение для b:

. 2 cdJ

ь =— (2.101)

Posted in Тепломассообмен


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *