Стационарное поле температур тел с источниками тепла

Введём следующие ограничения: тела рассматриваются с

постоянным тепловыделением по объему; на границах тел теплообмен подчиняется закону Ньютона (условия третьего рода); теплопроводность и теплоотдача не зависят от температуры.

Неограниченная пластина.

с) t t

Из уравнения (2.9) при —=- = —- = 0 следует, что

ду dz

(2.47)

И t

A—j + W = 0, 0<х<5.

dx

Стационарное поле температур тел с источниками тепла

Запишем условия на границах (рис. 2.4 а)

(2.48)

(2.49)

Решение

W,

dxydx) А’ dx А

t = ~ х +C, x + C2. (2.50)

Постоянные интегрирования С/и С2найдём из уравнений (2.48) — (2.49):

t(-2 > Н2

X

6=2L

t 01

l(‘l> ui

Стационарное поле температур тел с источниками тепла

Рис. 2.4. К определению стационарных полей температур тел с

источниками энергии

SHAPE * MERGEFORMAT

Стационарное поле температур тел с источниками тепла

Рассмотрим частные случаи

К,=Кг=К’ а,=аг=а,

W5

Тогда

WS

С,

С2 ~ tc г

2Х z L’ 2а

Подставим значения С] и С2 в (2.50):

W5,1 х х[1].

TOC o "1-5" h z t = t+ (—+———— ).

с 2 а X Х5

Последнее выражение преобразуем, введя новую систему координат:

8 т т 5

х-х — X-L; L-—.

(x’+Lf 2 L

WL WL

t — t —— 1—

а X

(*’+£)-

(2.51)

EL+m(x.+i)<Lzl2=m+]L(i^x%

a X 2L a 2X

WL WL T. r2L-x’-L1

— + — (x’+L)[——————— ]

a X 2 L

Найдём максимальную температуру tmax, которая соответствует центру пластины x=L, а х’=0.

Неограниченный сплошной цилиндр. Дифференциальное уравнение и граничные условия имеют вид

d2t 1 dt

—————

dx х dx dt

W_, X ‘

(2.52)

dt a,

1— (t — t Л

dx X

= 0,

dx

1=0

Представим (2.52) в виде

d, dt. — (x—) dx dx

W

Решение этого уравнения

dt _ Wx C, dx 2X x

dx 2X

W 2 ^

• —“ X 4- C, ІПХ4- С.

AX 1 2

-00, ЧТО

Найдём постоянные интегрирования С; и Сг. При х = 0, абсурдно, поэтому полагаем С] = Ои запишем решение в виде

W 2 .

х + С-,

АХ 2

Из условий на границе x=L определим Сг.

dt

dx

Wx

WL

с =L

c-L

WL а ґ W т2 _ ч А

“— + X + ^ ( Л — 0.

2Х X АХ

Окончательно температурное поле цилиндра имеет вид

W, т1 г, W т

t-t =—(1} — х )н L

с АХ 2а

Полный неограниченный цилиндр (рис. 2.4 б).

Дифференциальное уравнение для неограниченного цилиндра имеет вид (2.52), его решение было получено выше.

(2.53)

w

t = Xі + С. Inx + C7

4 1 1 2

На границах x = Rjvlx = R2 теплообмен происходит по закону Ньютона со средами, температуры которых равны t и tc, а коэффициенты

теплообмена — и а2 , Граничные условия имеют вид

dt

dx

1

x—R^

(2.54)

А—

dx

«1 (t t. )[

a2(t — t)

Используя эти условия, найдём постоянные С/и С2′.

1

W

41

С, — —[а, а2 (Г2 — Г,) + у (Я2а, + Д, а2) +

С2 + (/?,2 In Д2 — R; In Д,)- — (а, In Д, + а,/?, In /?2) +

41

WX R R a, t aJ

a,

V й2 Ді у

+^f-f)+a’a2 {h’ln Rl ~ ^ ык^+л(-^+;

В = a. a~, ln —3- + 1

Пример. Полый электрический проводник охлаждается водой, текущей в его внутренней полости и естественной конвекцией на наружной поверхности, находящейся в воздухе. Размер проводника Rj = 2 мм, i?2 =3 мм, удельное сопротивление материала />=0,1 Ом мм / м, 1=

15 Вт/мК, сила тока 7=1000 А, аз =1000 Вт/м2К, а2 = Ю Вт/м2 К, ^ _30°С,

^ =20°С.

Требуется определить максимальную температуру проводника.

Решение: Найдём координату х0, соответствующую максимальной температуре

dt

С W 21С

dx

il o=0; Xq = Jt± = о,00298м

х0 21 V W

Поскольку Ri<x0<R2 , то максимальная температура достигается внутри проводника и можно воспользоваться полученными выше формулами (в противном случае максимальная температура наблюдалась бы на одной из поверхностей).

С2 =1304,9; С, =120,5; tmax =543,9°С,

при такой высокой температуре следует рассмотреть вопрос кипения воды. Шар с источником энергии. Дифференциальное уравнение имеет

вид:

d2t 2 dt W Л ^ ^ _

—_-1——— __—^ о < х ^ L

dx х dx Я

(2.55)

На границе x=L теплообмен происходит по закону Ньютона, поэтому граничное условие имеет вид

-л*

dx

(‘-OL

■ а

x—L

Максимальная температура должна быть в центре шара, что позволяет записать

dt

dx

t=0

Покажем решение приведённой выше системы уравнений. Представим (2.55) в форме

1 d2(xt) W

— д

d(xt)

dx

Я

Я

х dx

Интегрируя дважды последнее уравнение, получим

d(xt) W х2 _ ,. . W х2 , ^ J

— _ ь С,, d(xt)— — dx + Cidx,

dx Я 2 1 Я 2

Wx2 „ С2

1- С, н—————

6 Я х

WXі

Я 2-3

+ С[ х + С 2t ■

tx

где С]И С2 — постоянные интегрирования.

Устремим х—>0, тогда t —юо, что физически абсурдно, поэтому

Wx2 6 Я

полагаем С? = 0 и t

+ С,.

На основании условия (2.56) определим Сь

WL WL „ WL2 „

X = a[ hC-r];

ЗЯ ЗЯ 6Я 1 c

dt

dx

запишем выражение для искомой температуры:

TOC o "1-5" h z w w

t-te= №-?)+ L (2.57)

62 3a

Приведём сводку формул для трех тел простейшей формы:

tm~te=—(L ~хг) + — Ц 22 а

W /г2 2ч W т

t — f = — (L-x) +——- L;

цш c 42 } la

W tT2 2ч W T

t “ t — — (X “X ) + — L,

62 Ъа

Во всех случаях температурное поле тела представляется параболическим законом. При а=оо и х=0:

WL2 WL1 WL1

tnn tc~^U’ ^ tc~ 4Л’ *ш *е~ 62′

Найдём среднюю объёмную температуру пластины, цилиндра и шара; по определению

{v ~~К

V с у

У V

(2.58)

U(t~Odv,

где V и dV — объём и элемент объёма тела.

Ki — 2L-1-1, dVu=dx-l’l, ~L<X<L — Кц = жі} ■ 1, dVц = l/rxdx •1, о < x < і •

Э

V = —77ТЪ ш 3 ’ dVm = 4nx1dx, о <x<L

Подставляя в (2.58) значения разности температур из (2.51), (2.53) и (2.57) и производя интегрирование, получим после простых преобразований выражение для среднеобъемного перегрева

(2-59)

где P=W’V — полная мощность источников в теле; V и S — объём и теплоотдающая поверхность в теле; п — коэффициент, равный для пластины, цилиндра и шара

1 1 з

пп=у я,—’ ”“ = 5′ ^2-60^

Формулу (2.59) можно также применять для оценки средней объёмной температуры тел иных конфигураций с распределёнными источниками энергии. Для этого следует все тела разбить на три группы: тела группы шара имеют все три измерения одного порядка; тела группы цилиндра имеют два конечных измерения одного порядка и третье измерение — неограниченно большое (z, «ь «ьъ); тела группы пластины обладают одним измерением конечной величины с двумя другими неограниченно большими измерениями (z, <<z2 » Z3 )• При оценке Э,, для тел указанных групп следует выбирать соответствующие значения п из (2.60) или промежуточные значения этих величин.

Posted in Тепломассообмен